Question

2．已知函数$f（x）=cosx（{\sqrt{3}sinx-cosx}）$．
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）记△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f（B）=$\frac{1}{2}$，a+c=1，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据倍角公式和和差角（辅助角）公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式，进而根据ω=2，得到函数f（x）的最小正周期．
（2）由f（B）=$\frac{1}{2}$，可得$B=\frac{π}{3}$，结合a+c=1及余弦定理，结合二次函数的图象和性质，得到b的取值范围．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=cosx（{\sqrt{3}sinx-cosx}）$=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x$-\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
∵ω=2，
∴T=π；
（2）∵$f（B）=\frac{1}{2}$，
∴$sin（{2B-\frac{π}{6}}）=1$，
∵B为三角形内角，
∴$2B-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$B=\frac{π}{3}$，
由${b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB，a+c=1，cosB=\frac{1}{2}$，
得${b^2}=3{（{a-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}$，
又a+c=1，则0＜a＜1，
∴$\frac{1}{4}≤{b}^{2}＜1$，
即$b∈[{\frac{1}{2，}1}）$．

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象与性质，余弦定理，其中利用倍角公式和和差角（辅助角）公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式，是解答的关键．