题目内容
（2012•信阳模拟）已知x=1是f(x)=2x+
+lnx的一个极值点
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-
，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．
| b |
| x |
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-
| 3 |
| x |
分析：（Ⅰ）先求出f′（x），再由x=1是f(x)=2x+
+lnx的一个极值点，得f′（1）=0，由此能求出b．
（II）由f′（x）=2-
+
＜0，得
＜0，再结合函数的定义域能求出函数的单调减区间．
（III）g（x）=f（x）-
=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），故2x0+lnx0-5=（2+
）（x0-2），由此能够推导出过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．
| b |
| x |
（II）由f′（x）=2-
| 3 |
| x2 |
| 1 |
| x |
| 2x2+x-3 |
| x2 |
（III）g（x）=f（x）-
| 3 |
| x |
| 1 |
| x0 |
解答：解：（Ⅰ）∵x=1是f(x)=2x+
+lnx的一个极值点，
f′（x）=2-
+
，
∴f′（1）=0，即2-b+1=0，
∴b=3，经检验，适合题意，
∴b=3．
（II）由f′（x）=2-
+
＜0，
得
＜0，∴-
＜x＜1，
又∵x＞0（定义域），
∴函数的单调减区间为（0，1]．
（III）g（x）=f（x）-
=2x+lnx，
设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），
∴
=g′(x0)，
即2x0+lnx0-5=（2+
）（x0-2），
∴lnx0+
-5=（2+
）（x0-2），
∴lnx0+
-2=0，
令h（x）=lnx+
-2，
h′(x)=
-
=0，∴x=2．
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∵h（
）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e2）=
＞0，
∴h（x）与x轴有两个交点，
∴过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．
| b |
| x |
f′（x）=2-
| b |
| x2 |
| 1 |
| x |
∴f′（1）=0，即2-b+1=0，
∴b=3，经检验，适合题意，
∴b=3．
（II）由f′（x）=2-
| 3 |
| x2 |
| 1 |
| x |
得
| 2x2+x-3 |
| x2 |
| 3 |
| 2 |
又∵x＞0（定义域），
∴函数的单调减区间为（0，1]．
（III）g（x）=f（x）-
| 3 |
| x |
设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），
∴
| y0-5 |
| x0-2 |
即2x0+lnx0-5=（2+
| 1 |
| x0 |
∴lnx0+
| 2 |
| x0 |
| 1 |
| x0 |
∴lnx0+
| 2 |
| x0 |
令h（x）=lnx+
| 2 |
| x |
h′(x)=
| 1 |
| x |
| 2 |
| x2 |
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∵h（
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| e2 |
∴h（x）与x轴有两个交点，
∴过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．
点评：本题考查实数值的求法、求函数的减区间、判断过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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