Question

（I）A为△ABC的内角，则sinA+cosA的取值范围是

(-1，

2

]

．
（II）给定两个长度为1的平面向量

OA

和

OB

，它们的夹角为120°．
如图所示，点C在以O为圆心的圆弧

AB

上变动．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，则x+y的最大值是

2

．

Answer 1

分析：（I）根据辅助角公式，我们可以将sinA+cosA化为正弦型函数的形式，根据A为△ABC的内角，即可得到sinA+cosA的取值范围；
（II）∠AOC=α，我们可以得到x，y的解析式（含参数α），根据辅助角公式，我们可以得到x+y的表达式，然后根据三角函数的性质，即可得到x+y的最大值．

解答：解：（I）∵sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

）
又∵A∈（0，π）
∴

2

sin（A+

π

4

）∈(-1，

2

]；
（II）设∠AOC=α
∴

OC • OA =x OA • OA +y OB • OA OC • OB =x OA • OB +y OB • OB

即

cosα=x- 1 2 y cos(120°-α)=- 1 2 x+y

∴x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+

3

sinα=2sin（x+

π

6

）≤2
故x+y的最大值是 2
故答案为：(-1，

2

]，2

点评：本题考查的知识点是正弦函数的值域，向量的加法及其几何意义，熟练掌握辅助角公式及正弦型函数的性质是解答本题的关键．