Question

已知复数z是方程x²+2x+5=0的解，且Imz＜0，若

a

z

+

.

z

=b+i（其中a、b为实数，i为虚数单位，Imz表示z的虚部），求复数w=a+bi的模．

Answer 1

分析：由方程结合题意可得z=-1-2i，代入已知由复数相等的定义可得ab的值，进而可得复数w，再由模长公式可得答案．

解答：解：方程x²+2x+5=0的解x=-1±2i，因为 Imz＜0，所以z=-1-2i，
将z=-1-2i代入

a

z

+

.

z

=b+i，得

a -1-2i -1+2i=b+i

，
化简得

a+5=(b+i)(-1-2i)

=-b+2+（-1-2b）i，
由复数相等的定义可得：

a+5=-b+2 0=-1-2b

，
解得

a=- 5 2 b=- 1 2

，所以w=-

5

2

-

1

2

i，
所以|w|=

25 4 + 1 4

=

26

2

．

点评：本题考查复数的摸的运算，涉及复数的化简和复数相等的定义，属基础题．