Question

若（2x+

1

x

）ⁿ的展开式中，二项式系数最大的项只有第三项，则展开式中常数项的值为

 

．（用数字作答）

Answer 1

分析：利用二项展开式中中间项的二项式系数最大求出n，再用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．

解答：解：∵二项展开式中中间项的二项式系数最大
又∵二项式系数最大的项只有第三项
∴展开式中共有5项
∴n=4
∴(2x+

1

x

)n=(2x+

1

x

)4
∵(2x+

1

x

)4展开式的通项为 Tr+1=

C

r 4

(2x)4-r (

1

x

)r=2^4-rC₄^rx^4-2r
令4-2r=0得r=2
∴展开式的常数项为T₃=4C₄²=24
故答案为：24

点评：本题考查二项式系数的性质：二项展开式中中间项的二项式系数最大，考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．