Question

若0＜θ≤

π

3

，求函数f(θ)=2

3

sin2(

π

4

+θ)+2cos2θ-

3

的最大值及取最大值时相应的θ值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式两角和的正弦函数化简函数的表达式，根据θ的范围，求出

π

6

＜2θ+

π

6

≤

5π

6

，然后求出函数的最大值以及θ的值．

解答：解：f(θ)=2

3

sin2(

π

4

+θ)+2cos2θ-

3

=

3

[1-cos(

π

2

+2θ)] +1+cos2θ-

3

=

3

sin2θ+cos2θ+1
=2sin（2θ+

π

6

）+1
因为0＜θ≤

π

3

所以

π

6

＜2θ+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(2θ+

π

6

)≤1
当2θ+

π

6

=

π

2

即θ=

π

6

，
f（θ）_max=2×1+1=3

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简二倍角公式的应用，两角和的正弦函数的应用，三角函数在闭区间最值的求法，考查计算能力．常考题型．