题目内容

已知函数f（x）=-x3+ax2+1（a∈R）．
（1）若函数y=f（x）在区间(0，
2
3
)上递增，在区间[
2
3
，+∞）上递减，求a的值；
（2）当x∈[0，1]时，设函数y=f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a∈（
3
2
，+∞），求θ的取值范围；
（3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1（m∈R）的图象与函数y=f（x）的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m的值；若不存在，试说明理由．
分析：（1）求导函数，利用函数y=f（x）在区间(0，
2
3
)上递增，在区间[
2
3
，+∞）上递减，可得函数在x=
2
3
处取得极值，即f′（
2
3
）=0，从而可求a的值；
（2）求导函数，根据a∈（
3
2
，+∞），可确定斜率的范围，从而可确定倾斜角θ的取值范围；
（3）在（1）的条件下，a=1，“要使函数f（x）与g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1的图象恰有三个交点”即为“方程x2（x2-4x+1m）=0恰有三个不同的实根”．因为x=0是一个根，所以方程x2-4x+1-m=0应有两个非零的不等实根，再用判别式求解．
解答：解：由于函数f（x）=-x3+ax2+1（a∈R）．
则导函数f′（x）=-3x2+2ax
（1）由于函数y=f（x）在区间(0，
2
3
)上递增，在区间[
2
3
，+∞）上递减，
则得函数在x=
2
3
处取得极值，即f′（
2
3
）=0，
则-3×(
2
3
)2+2a×
2
3
=0，解得a=1．
（2）由于tanθ=f′（x）=-3x2+2ax=-3（x-
a
3
）2+
a2
3
，
∵a∈（
3
2
，+∞），∴
a
3
∈(
1
2
，+∞)
①当
a
3
∈（
1
2
，1]，即a∈(
3
2
，3]时，f′(x)max=
a2
3
，f′（x）min=f′（0）=0
即0≤tanθ≤
a2
3

②当
a
3
∈（1，+∞），即a∈（3，+∞），时，f′（x）max=f'（1）=2a-3，f′（x）min=f′（0）=0
即0≤tanθ≤2a-3
∵0≤θ≤π，∴当a∈(
3
2
，3]时，θ∈[0，arctan
a2
3
]；
当a∈（3，+∞）时，θ的取值范围是[0，arctan（2a-3）]．
（3）在（1）的条件下，a=1，
要使函数f（x）与g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1的图象恰有三个交点，
等价于方程-x3+x2+1=x4-5x3+（2-m）x2+1，
即方程x2（x2-4x+1-m）=0恰有三个不同的实根．
∵x=0是一个根，
∴应使方程x2-4x+1-m=0有两个非零的不等实根，
由△=16-4（1-m）＞0，1-m≠0，解得m＞-3，m≠1
∴存在m∈（-3，1）∪（1，+∞），
使得函数f（x）与g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1的图象恰有三个交点．
点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了方程的根与函数的零点间的转化．还考查了计算能力和综合运用知识的能力．
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π
4
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π
6
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1
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m
2
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1
f(n)
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A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009
已知函数f（x）是定义在区间（-1，1）上的奇函数，且对于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，则实数a的取值范围是
 
．

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