Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B．
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后，由题意知

k2-2≠0 △=(2k)2-8(k2-2)＞0 - 2k k2-2 ＞0 2 k2-2 ＞0.

，由此可知实数k的取值范围．

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由题意得

x1+x2= 2k 2-k2 x2•x2= 2 k2-2 .

，由此入手可求出k的值．

解答：解：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后，整理得（k²-2）x²+2kx+2=0．①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

k2-2≠0 △=(2k)2-8(k2-2)＞0 - 2k k2-2 ＞0 2 k2-2 ＞0.

解得k的取值范围是-2＜k＜-

2

．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则由①式得

x1+x2= 2k 2-k2 x1•x2= 2 k2-2 .

②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）．
则由FA⊥FB得：（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0．
即（x₁-c）（x₂-c）+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
整理得（k²+1）x₁x₂+（k-c）（x₁+x₂）+c²+1=0．③
把②式及c=

6

2

代入③式化简得5k2+2

6

k-6=0．
解得k=-

6+ 6

5

或k=

6- 6

5

∉(-2，-

2

)(舍去)
可知k=-

6+ 6

5

使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．

点评：本题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力．