Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=a,BC=a，以对角线AC为折线将直角三角形ABC向上翻折到三角形APC的位置（B点与P点重合），P点在平面ACD上的射影恰好落在边AD上的H处．

（1）求证：PA⊥CD；
（2）求直线PC与平面ACD所成角的正切值．

Answer 1

(1)详见解析，(2).

试题分析：(1)折叠问题，首先要明确折叠前后量的变化，尤其是垂直条件的变化，本题要证明线线垂直，首先找线面垂直，因为关于垂直条件较多，所以考虑证明面，折叠前后都有条件,而折叠后面，因此可由线面垂直得到 ，这样就可由线面垂直判定定理证到面 ，(2)求线面角，关键作出面的垂线.本题简单，因为面，所以直线PC与平面ACD所成角就为,下面只需在直角三角形中解出的正切值就可.
试题解析：(1) 证明: 由题设，平面ACD,平面PAD平面ACD，    3分
交线为AD，又CDAD，CD平面PAD，PA平面PAD，CDPA  6分
（2）连接CH，则PCH为直线PC与平面ACD所成的角。
作HGAC，垂足为G，连接PG，则AC平面PHG ACPG，  9分
又在矩形ABCD中，AB=a，BC=a,
在直角PGA中，PA=a,AG=
在直角HAG中，AH==，又AC="2a,"      2分
在直角CAH中，根据余弦定理可得，CH=,
在直角 PHA中可得PH=，tan      13分