Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长是2，侧棱长为3，E为棱B₁C₁的中点，连接CD₁，CE，D₁E，DB₁．
（I）求证：DB₁∥平面CED₁；
（II）在侧棱BB₁是否存在一点M，使得A₁M⊥DB₁，若存在，求出点M的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）连接C₁D，交CD₁于O，连接OE．可得OE是△B₁DC₁的中位线，得OE∥B₁D，结合线面平行的判定定理得DB₁∥平面CED₁；
（I）连接AB₁，过A₁作A₁M⊥AB₁，垂足为N，交BB₁于M．矩形AABB中，利用△A₁AB₁∽△B₁A₁M，求得B₁M=

A 1B12

AA1

=

4

3

，再由线面垂直的判定与性质，证出A₁M⊥平面AB₁D，从而A₁M⊥DB₁，因此侧棱BB₁是否存在一点M，当B₁M=

4

3

时，满足A₁M⊥DB₁．

解答：解：（I）连接C₁D，交CD₁于O，连接OE
∵四边形C₁D₁DC是矩形，∴O为C₁D的中点
∵△B₁DC₁中，E为B₁C₁中点，
∴OE是△B₁DC₁的中位线，得OE∥B₁D
∵OE?平面CED₁，DB₁?平面CED₁，
∴DB₁∥平面CED₁；
（II）连接AB₁，过A₁作A₁M⊥AB₁，垂足为N，交BB₁于M
∵矩形AABB中，∠AA₁B₁=∠A₁B₁M，∠A₁AB=∠B₁A₁M
∴△A₁AB₁∽△B₁A₁M，得

A A1

A1B1

=

A1B1

B1M

，可得A1B12=AA₁•B₁M，B₁M=

A 1B12

AA1

=

4

3

∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥平面A₁B₁BA，A₁M?平面A₁B₁BA，
∴A₁M⊥AD
∵A₁M⊥AB₁，AD与AB₁是平面AB₁D内的相交直线
∴A₁M⊥平面AB₁D，结合DB₁?平面AB₁D，得A₁M⊥DB₁，
因此侧棱BB₁是否存在一点M，当B₁M=

4

3

时，满足A₁M⊥DB₁．

点评：本题给出特殊正四棱柱，求证线面平行并探索两条直线异面垂直，着重考查了空间平行、垂直位置关系的判断与证明等知识，属于中档题．