题目内容
函数f（x）=|x3-3x2-t|，x∈[0，4]的最大值记为g（t），当t在实数范围内变化时g（t）最小值为
10
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．分析：利用导数先求出y=x3-3x2的值域是[-4，16]，再由函数f（x）=|x3-3x2-t|，x∈[0，4]的最大值记为g（t），求出g（t）=
．由此能求出g（t）最小值．
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解答：解：设y=x3-3x2，
则y′=3x2-6x，
由y′=3x2-6x=0，
得x1=0，x2=2，
∵x∈[0，4]，
y|x=0=0，
y|x=2=-4，
y|x=4=16，
∴y=x3-3x2的值域是[-4，16]．
∵函数f（x）=|x3-3x2-t|，x∈[0，4]的最大值记为g（t），
∴当t＞6时，g（t）=4+t；
当t=6时，g（t）=10；
当t＜6时，g（t）=16-t．
∴g（t）=
．
∴g（t）最小值为10．
故答案为：10．
则y′=3x2-6x，
由y′=3x2-6x=0，
得x1=0，x2=2，
∵x∈[0，4]，
y|x=0=0，
y|x=2=-4，
y|x=4=16，
∴y=x3-3x2的值域是[-4，16]．
∵函数f（x）=|x3-3x2-t|，x∈[0，4]的最大值记为g（t），
∴当t＞6时，g（t）=4+t；
当t=6时，g（t）=10；
当t＜6时，g（t）=16-t．
∴g（t）=
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∴g（t）最小值为10．
故答案为：10．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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