Question

【题目】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且 PB=PC= ．
（Ⅰ）求证：AB⊥CP；
（Ⅱ）求点B到平面PAD的距离；
（Ⅲ）设面PAD与面PBC的交线为l，求二面角A﹣l﹣B的大小．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥BC， 又平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC
∴AB⊥平面PBC
又PC平面PBC
∴AB⊥CP
（Ⅱ）解：∵BC∥AD，BC面PAD，AD面PAD，
∴BC∥面PAD
取BC中点O，再取AD中点M
∵AD⊥MO，AD⊥MP，MO∩MP=M
∴AD⊥面MOP，
∵AD面ADP
∴面ADP⊥面MOP
过点O作OH⊥PM，则OH⊥面ADP
在Rt△MPO中，由OHPM=POMO，可得OH=
∴点B到平面PAD的距离为 ．
（Ⅲ）解：∵BC∥AD，BC面PAD，AD面PAD，
∴BC∥面PAD
∵面PAD∩面PBC=l，BC面PBC
∴BC∥l
∴OP⊥l，MP⊥l
∴∠MPO就是二面角A﹣l﹣B的平面角．
∴tan∠MPO= =1
∴∠MPO=45°
∴二面角A﹣l﹣B的大小为45°．

【解析】（Ⅰ）利用面面垂直的性质证明AB⊥平面PBC，从而可证AB⊥CP；（Ⅱ）取BC中点O，再取AD中点M，过点O作OH⊥PM，则OH⊥面ADP，利用等面积，即可求点B到平面PAD的距离；（Ⅲ）证明∠MPO就是二面角A﹣l﹣B的平面角，从而可求二面角A﹣l﹣B的大小．