题目内容
【题目】已知函数且
.
(1)求a;
(2)证明:存在唯一的极大值点
,且
.
【答案】(1)a=1;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据题意结合导函数与原函数的关系可求得,注意验证结果的正确性;(2)结合(1)的结论构造函数
,结合
的单调性和
的解析式即可证得题中的不等式成立.
试题解析:(1)的定义域为
设,则
等价于
因为
若a=1,则.当0<x<1时,
单调递减;当x>1时,
>0,
单调递增.所以x=1是
的极小值点,故
综上,a=1
(2)由(1)知
设
当时,
;当
时,
,所以
在
单调递减,在
单调递增
又,所以
在
有唯一零点x0,在
有唯一零点1,且当
时,
;当
时,
,当
时,
.
因为,所以x=x0是f(x)的唯一极大值点
由
由得
因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,由得
所以
点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出.导数专题在高考中的命题方向及命题角度:从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题;(4)考查数形结合思想的应用.
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