Question

已知函数f（x）=loga

x-3

x+3

，g（x）=f（x）+x³+2
（1）若g（t）=3求g（-t）的值
（2）若f（x）的定义域为[α，β），值域为（log_aa（β-1），log_aa（α-1）]
①求证：a＞3
②若函数f（x）为[α，β）上的减函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意得

x-3

x+3

＞0，得x＞3或x＜-3；（1分）
∵f（-x）=loga

-x-3

-x+3

=loga

x+3

x-3

=-loga

x-3

x+3

=f（-x）
∴f（x）为奇函数；（3分）
∵g（x）=f（x）+x³+2，g（t）=3
∴g（t）+g（-t）=f（t）+t³+2+f（-t）+（-t）³+2=4
∴g（t）+g（-t）=4．故g（-t）=1（5分）
（2）由（1）知f（x）的定义域（-∞，-3）∪（3，+∞）
①∵a（α-1）＞0且a＞0，则α＞1，
又∵已知f（x）的定义域为[α，β），
∴β＞α＞3．则α＞3．（8分）
②∵函数y=

x-3

x+3

=1-

6

x+3

在其定义域[α，β）上为增函数，
又∵f（x）在[α，β）上为减函数，∴0＜a＜1；（9分）
∵f（x）的定义域为[α，β），值域为（log_aa（β-1），log_aa（α-1）]
∴

log

α-3 α+3 a

=log_a^a（α-1）且

log

β-3 β+3 a

=log_aa（β-1），
说明α，β 是方程

x-3

x+3

=a(x-1)的两个相异实数根，且β＞α＞3，
即方程ax²+（2a-1）x+3-3a=0在区间（3，+∞）内有两相异实根．
设h（x）=ax²++（2a-1）x+3-3a，
则有

△=(2a-1)2-4a(3-3a)＞0 - 2a-1 2a ＞3 h(3)＞0

，解

a＜ 2- 3 4 或a＞ 2+ 3 4 a＜ 1 8 a＞0

又∵0＜a＜1，
综上解得：0＜a＜

2- 3

4

，
∴满足条件的a的取值范围是（0，

2- 3

4

）．（14分）