题目内容
11．a，b，c≥0，求证：a3+b3+c3≥3abc，当且仅当a=b=c时，等号成立．分析 a3+b3+c3-3abc=（a+b）3+c3-3a2b-3ab2-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=$\frac{1}{2}$（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，即可证明．
解答 证明：∵a，b，c≥0，
∴a3+b3+c3-3abc
=（a+b）3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=（a+b+c）[（a+b）2-c（a+b）+c2]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）
=$\frac{1}{2}$（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]≥0，当且仅当a=b=c时，等号成立．
∴a3+b3+c3≥3abc．
点评 本题考查了立方和公式、完全平方公式、“作差法”，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目