题目内容

对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是
 
．
分析：根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥-（|x|+
1
|x|
），由基本不等式的性质，易得a的范围，综合两种情况可得答案．
解答：解：根据题意，分2种情况讨论；
①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；
②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（x2+1），即a≥-（|x|+
1
|x|
）；
又由|x|+
1
|x|
≥2，则-（|x|+
1
|x|
）≤-2；
要使不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可；
综上可得，a的取值范围是[-2，+∞）；
故答案为：[-2，+∞）．
点评：本题考查了函数的恒成立问题，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．
练习册系列答案
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（2013•绵阳二模）对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f（x）=ax2+
1
2
x+c(a≠0）．若函数f（x）满足下列条件：①f（-1）=0；②对一切实数x，不等式f（x）≤
1
2
x2+
1
2
恒成立．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若f（x）≤t2-2at+1对?x∈[-1，1]，?a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）求证：
1
f(1)
+
1
f(2)
+…+
1
f(n)
＞
2n
n+2
（n∈N*）．
设函数f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2+cx(a，b，c∈R，a≠0)的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数g(x)=k(x)-
1
2
x为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（-1）=0；②对一切实数x，不等式k(x)≤
1
2
x2+
1
2
恒成立．
（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；
（Ⅱ）求证：
1
k(1)
+
1
k(2)
+…+
1
k(n)
＞
2n
n+2
（n∈N*）．
已知函数f（x）=x2+bx+c，若方程f（x）=x无实根，则（　　）

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