Question

已知F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点F₁，F₂关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F₂的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意可知：F₁（-2，0），F₂（2，0），可得⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．利用线段的垂直平行的性质可得，解出即可得到圆的方程；
（II））由题意，可设直线l的方程为x=my+2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d=，再利用弦长公式即可得到b=．把直线l的方程为x=my+2与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到a，进而得到ab，利用基本不等式的性质即可得出结论．
解答：解：（I）由题意可知：F₁（-2，0），F₂（2，0）．故⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．则，解得．
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-2）²=4；
（II）由题意，可设直线l的方程为x=my+2，则圆心到直线l的距离d=，
∴b=．
由得（5+m²）y²+4my-1=0．
设l与E的两个交点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
则，．
∴a===，
∴ab===．
当且仅当，即时等号成立．
故当时，ab最大，此时，直线l的方程为，即．
点评：本题综合考查了圆与椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、圆的弦长公式b=、直线与椭圆相交的弦长公式a=、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力．．