Question

已知函数f（x）=

a(x-1)

x2

，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（3）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[l，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

分析：（1）求导数，利用导数求函数的单调性区间．
（2）求函数的导数，利用切点处的导数和切线斜率相等，求出a的值．
（3）利用导数求函数g（x）在闭区间上的最小值．

解答：解：（1）f′(x)=

a(2-x)

x3

，(x≠0)，因为a＞0，所以由f'（x）＞0，得0＜x＜2，此时函数单调递增．
由f'（x）＜0，得x＞2或x＜0，此时函数单调递减．
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．
（2）设切点坐标为（x₀，y₀，则

y0= a(x0-1) x0 x0-y0-1=0 a(2-x0) x03 =1

，解得x₀=1，a=1．
（3）g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
则g'（x）=lnx+1-a，由g'（x）=lnx+1-a=0，解得x=e^a-1．
所以在区间（0，e^a-1）上，函数单调递减，在（e^a-1．，+∞）上，函数单调递增．
①当e^a-1．≤1，即0＜a≤1时，在区间[l，e]上g（x）单调递增，所以g（x）的最小值为g（1）=0．
②当e^a-1．≥e，即a≥2时，在区间[l，e]上g（x）单调递减，所以g（x）的最小值为g（e）=e+a-ae．
③当1＜e^a-1．＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e^a-1．）=（a-1）e^a-1．-a（e^a-1．-1）=a-e^a-1．．
综上当0＜a≤1时，g（x）的最小值为g（1）=0．
当1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e^a-1．），
当≥2时，g（x）的最小值为g（e）=e+a-ae．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值和函数的单调区间，比较综合．