Question

已知函数f(x)=

a2x+1

3x-1

(a∈N)，方程f（x）=-2x+7有两个根x₁，x₂，且x₁＜1＜x₂＜3．
（1）求自然数a的值及f（x）的解析式；
（2）记等差数列{a_n}和等差数列{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，且

Sn

Tn

=f(n)，(n∈N*)，设g(n)=

an

bn

，求g（n）的解析式及g（n）的最大值；
（3）在（2）小题的条件下，若a₁=10，写出数列{a_n}和{b_n}的通项，并探究在数列{a_n}和{b_n}中是否存在相等的项？若有，求这些相等项从小到大排列所成数列{c_n}的通项公式；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由方程f（x）=-2x+76可以化简为：x²+（a²-23）x+8=0，令h（x）=6x²+（a²-23）x+8，再结合二次函数的性质可得a=2，进而求出函数的解析式．
（2）由等差数列的性质可得：g(n)=

(2n-1)(a1+a2n-1)

(2n-1)(b1+b2n-1)

=

S2n-1

T2n-1

=f(2n-1)，即可求出函数g（n）的表达式，进而利用函数的有关性质求出其最大值．
（3）

an

bn

=

8n-3

6n-4

，由

a1

b1

=

5

2

，a1=10?b1=4，再利用（2）中的解析式与等差数列的性质可得两个数列的通项公式，进而假设存在相等的项a_k=b_p，可得矛盾即可得到答案．

解答：解：（1）由

a2x+1

3x-1

=-2x+7得：6x²+（a²-23）x+8=0；
令h（x）=6x²+（a²-23）x+8，由x₁＜1＜x₂＜3得：

h(1)=a2-9＜0 h(3)=3a2-7＞0

?

7

3

＜a2＜9，
又a∈N，所以有：a=2；…（5分）
所以f(x)=

4x+1

3x-1

；　　　　　　…（6分）
（2）g(n)=

an

bn

，并且结合等差数列的性质可得：
g(n)=

(2n-1)(a1+a2n-1)

(2n-1)(b1+b2n-1)

=

S2n-1

T2n-1

=f(2n-1)，
所以g(n)=

8n-3

6n-4

=

4

3

+

7

6(3n-2)

；…（8分）
并且g(n)max=g(1)=

5

2

．…（12分）
（3）

an

bn

=

8n-3

6n-4

，由

a1

b1

=

5

2

，a1=10?b1=4；　　　　　　　　　　…（13分）
设数列{a_n}和数列{b_n}的公差分别为d₁，d₂；
所以

a2 b2 = 10+d1 4+d2 = 13 8 a3 b3 = 10+2d1 4+2d2 = 21 14

?

d1=16 d2=12

?

an=10+(n-1)•16=16n-6 bn=4+(n-1)•12=12n-8

…（16分）
若存在相等的项a_k=b_p（k，p∈N^*），即16k-6=12p-8?6p-8k=1①
①式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，
故不存在满足条件的数列{c_n}．…（18分）

点评：本题主要考查二次函数的有关性质与等差数列的有关性质，以及等差数列的通项公式、函数求最值等知识点．