Question

【题目】如图已知是边长为的正方形的中心，点分别是的中点，沿对角线把正方形折成二面角.

（1）证明：四面体的外接球的体积为定值，并求出定值；

（2）若二面角为直二面角，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由题意可知，四面体的外接球始终是以为直径，即其半径为2，点为球心的球，而与二面角大小无关，再由球的体积公式进行计算，从而问题可得解；（2）由题意可考虑采用坐标法，分别以为轴，建立空间直角坐标系，分别求出二面角两个平面的法向量，再由向量的数量积公式进行运算，从而问题可得解.

试题解析：（1）∵为定值，与二面角大小无关，

∴ 四面体的外接球是以为球心，2为半径的球，所以外接球的体积为

（2）以点为原点，以的方向为轴的正方向，建立如图所示的坐标系，

则，∴，，

设平面的法向量为，

则，即，令，则，

∴，

又平面的法向量 为，∴，

∴二面角的余弦值为．