Question

15．求下列函数的解析式：
（1）已知f（x）是二次函数且f（0）=2，f（2-x）-f（x）=0，f（1）=-2，求f（x）；
（2）已知f（$\sqrt{x}$+1）=x+3，求f（x）；
（3）已知f（x）-2f（$\frac{1}{x}$）=3x+2，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求解；
（2）利用换元法求解；
（3）利用方程组法求解．

解答 解：（1）f（0）=2，则可设f（x）=ax²+bx+2
f（2-x）=f（x），即f（1+1-x）=f（1-（1-x）），即x=1为函数的对称轴，即x=-$\frac{b}{2a}$=1，得：b=-2a，
f（1）=-2，得：a+b+2=-2，即a-2a+2=-2，得：a=4，故b=-8
∴f（x）=4x²-8x+2；
（2）设$\sqrt{x}$+1=t（t≥1），则x=（t-1）²，∴f（t）=（t-1）²+3=t²-2t+4，
∴f（x）=x²-2x+4（x≥1）；
（2）以$\frac{1}{x}$代替x，代入f（x）-2f（$\frac{1}{x}$）=3x+2①，可得f（$\frac{1}{x}$）-2f（x）=$\frac{3}{x}$+2②，
①②联立可得f（x）=-x-$\frac{2}{x}$-2．

点评 本题考查求函数的解析式，考查待定系数法，换元法，方程组法，考查学生的计算能力，正确运用方法是关键．