题目内容
研究函数f(x)=
(x∈R)的性质，分别给出下面结论（ ）
①若x1=-x2，则一定有f（x1）=-f（x2）；
②函数f（x）在定义域上是减函数；
③函数f（x）的值域为（-1，1）；
④若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn(x)=
对任意n∈N*恒成立，
其中正确的结论有（ ）
| x |
| 1+|x| |
①若x1=-x2，则一定有f（x1）=-f（x2）；
②函数f（x）在定义域上是减函数；
③函数f（x）的值域为（-1，1）；
④若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn(x)=
| x |
| 1+n|x| |
其中正确的结论有（ ）
分析：分析：根据题意，以此分析命题：①可由函数的奇偶性证得；②可结合①结论，先证x≥0时，函数的单调性，进而得到f（x）的单调性；③与②的判断方法一样，先求x≥0时，函数的值域，进而结合奇偶性得到函数在整个定义域上的值域；④由其形式知，此是一个与自然数有关的命题，故采用数学归纳法进行证明，即可得答案．
解答：解：若x1=-x2，则一定有f（x1）=
=-
=-f（x2），故①正确；
当x≥0时，f(x)=
=1-
为增函数，结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得②错误；
由②得当x≥0时，f（x）的值域为[0，1），结合奇函数在对称区间上，值域对称，可得③正确；
④当n=1，f1（x）=f(x)=
，f2（x）=
=
，
假设n=k时，fk（x）=
成立，
则n=k+1时，fk+1（x）=
=
成立，
由数学归纳法知，④正确．
故选C
| -x2 |
| 1+|-x2| |
| -x2 |
| 1+|x2| |
当x≥0时，f(x)=
| x |
| 1+x |
| 1 |
| 1+x |
由②得当x≥0时，f（x）的值域为[0，1），结合奇函数在对称区间上，值域对称，可得③正确；
④当n=1，f1（x）=f(x)=
| x |
| 1+|x| |
| ||
1+|
|
| x |
| 1+2|x| |
假设n=k时，fk（x）=
| x |
| 1+k|x| |
则n=k+1时，fk+1（x）=
| ||
1+|
|
| x |
| 1+(k+1)|x| |
由数学归纳法知，④正确．
故选C
点评：点评：本题考查带绝对值的函数，函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的．
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