Question

设函数y=f（x）的定义域与值域均为R，其反函数为y=f^-1（x），且对任意实数x都有f(x)+

2

3

f-1(x)=

5

3

x．现有数列a₁=1，a2=

5

3

，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）（文）求满足

m-1

2m+1

＞an对所有n∈N^*恒成立的m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为数列{an}满足a₁=1，a2=

5

3

，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）^_且 f(x)+

2

3

f-1(x)=

5

3

x  所以f(an+1)+

2

3

f-1(an+1)=

5

3

an+1，化简得，an+2-an+1=

2

3

(an+1-an)，又因为  b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），所以，可判断 数列{b_n}是公比为 

2

3

的等比数列，进而可求出数列{b_n}的通项公式． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）中数列{b_n}的通项公式，以及b_n=a_n+1-a_n可得数列{a_n}的递推公式，再用迭代法求出数列{a_n}的通项公式，就可把

m-1

2m+1

＞an化为含m，n的不等式，求出m在那个范围时，

m-1

2m+1

＞an对所有n∈N^*恒成立．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=f（a_n），∴a_n=f^-1（a_n+1）
∵任意实数x都有f(x)+

2

3

f-1(x)=

5

3

x，∴f(an+1)+

2

3

f-1(an+1)=

5

3

an+1
∵a_n+1=f（a_n），即a_n=f^-1（a_n+1），∴f（a_n+1）=a_n+2，f^-1（a_n+1）=a_n
∴an+2+

2

3

an=

5

3

an+1，即an+2-an+1=

2

3

(an+1-an)
∵b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），a₁=1，a2=

5

3

∴数列{b_n}是以a2-a1=

5

3

-1=

2

3

为首项，以q=

2

3

为公比的等比数列
故数列{b_n}的通项为bn=(

2

3

)n
（Ⅱ）（文）由bn=an+1-an=(

2

3

)n得a_n-a₁=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）
=(

2

3

)n-1+(

2

3

)n-2+…+(

2

3

)2+

2

3

=2[1-(

2

3

)n-1]
又∵a₁=1，∴an=3-

2n

3n-1

（n∈N^*），即数列{a_n}是递增数列，且a_n＜3（n∈N^*）
∴满足

m-1

2m+1

＞an对所有n∈N^*恒成立的参数m必须满足

m-1

2m+1

≥3，即-

4

5

≤m≤-

1

2

．又m≠-

1

2

，故满足

m-1

2m+1

＞an对所有n∈N^*恒成立的参数m的取值范围为-

4

5

≤m＜-

1

2

．

点评：本题考查了函数与数列的关系，以及恒成立问题，做题时需细心，找到突破口．