Question

设函数f(x)=

(x-a)2

x

．
（I）证明：0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必要的条件；
（II）若x∈（-∞，0）时，满足f（x）＜2a²-6恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求函数的导函数f′（x），证明当0＜a＜1时，f′（x）＞0，从而证明了充分性，再由若函数f（x）在区间（1，2）上递增，则a的范围包含（0，1），即证明了不必要性
（II）先将恒成立问题转化为求函数f（x）在区间（-∞，0）上的最大值问题，再分a＞0，a=0，a＜0三种情况利用导数求函数的最大值，由最大值小于2a²-6，解得a的范围

解答：解：（I）对函数）f(x)=

(x-a)2

x

求导，得 
 f′(x)=

2(x-a)x-(x-a)2

x2

=

x2-a2

x2

=

(x-a)(x+a)

x2

，
先证充分性：若0＜a＜1，
∵1＜x＜2，∴x-a＞0，x+a＞0，
∴f'（x）＞0
∴函数f（x）在区间（1，2）上递增．
再说明非必要性：∵f（x）在区间（1，2）上递增，
∴f'（x）≥0对1＜x＜2恒成立
即

x2-a2

x2

≥0对1＜x＜2恒成立，
x²-a²≥0对1＜x＜2恒成立，
即a²≤x²对1＜x＜2恒成立，
∵1＜x＜2，∴1＜x²＜4，
∴a²≤1，即-1≤a≤1．即推不出0＜a＜1．
∴0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必要的条件 
（II）由（I）知f′(x)=

x2-a2

x2

=

(x-a)(x+a)

x2

，
令f'（x）=0，得x₁=a，x₂=-a
①当a=0时，f（x）=x，x∈（-∞，0）时，f（x）＜-6不能恒成立，不符合题意．
②当a＞0时，函数y=f（x）在（-∞，-a）上递增，在（-a，0）上递减，
∴函数y=f（x）在（-∞，0）上的极大值为f（-a）
若x∈（-∞，0）时，f（x）＜2a²-6恒成立，
则需f（x）_极大值=f（-a）＜2a²-6
即-4a＜2a²-6，
解得a＞1．
③当a＜0时，函数y=f（x）在（-∞，a）上递增，在（a，0）上递减，
∴函数y=f（x）在（-∞，0）上的极大值为f（a）
此时x∈（-∞，0），
若满足f（x）＜2a²-6恒成立，
则需f（x）_极大值=f（a）=0＜2a²-6
解得a＜-

3

故若x∈（-∞，0）时，满足f（x）＜2a²-6恒成立，实数a∈(-∞，-

3

)∪(1，+∞)

点评：本题考查了导数在函数单调性中的应用，导数在函数求最值中的应用，不等式恒成立问题的解法，充要条件的证明