Question

已知函数f（x）=xlnx，
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-（a+1）x，其中a∈R，求函数g（x）在[1，e]上的最小值（其中e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，进而根据导函数的零点对函数的定义域进行分段讨论后，可得函数的单调性，从而可求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）设出切点坐标，可得切线斜率，从而可表示出切线方程，代入点（0，-1），求出切点坐标，即可求直线l的方程；
（Ⅲ）求导函数，可得函数g（x）在（0，e^a）上单调递减，在（e^a，+∞）上单调递增，分类讨论，可得函数g（x）在[1，e]上的单调性，从而可求函数g（x）在[1，e]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）
又∵当f'（x）=lnx+1=0，得x=

1

e

，如下表

∴f（x）在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增，在x=

1

e

处取得极小值，且极小值为f（

1

e

）=-

1

e

；
（Ⅱ）设切点为p（a，b），则b=alna，切线的斜率为lna+1，
∴切线l的方程为y-alna=（lna+1）（x-a），
∵切线l过点（0，-1），
∴-1-alna=（lna+1）（0-a），
∴a=1，∴b=0，
∴切线l的方程为y=x-1；
（Ⅲ）函数g（x）=f（x）-（a+1）x=xlnx-（a+1）x，则g′（x）=lnx-a，
由g′（x）=lnx-a＜0，可得0＜x＜e^a；由g′（x）=lnx-a＞0，可得x＞e^a，
∴函数g（x）在（0，e^a）上单调递减，在（e^a，+∞）上单调递增．
①e^a≤1，即a≤0时，g（x）在[1，e]上单调递增，
∴g（x）在[1，e]上的最小值为g（1）=-a-1；
②1＜e^a＜3，即0＜a＜1时，g（x）在[1，e^a）上单调递减，在（e^a，e]上单调递增，
∴g（x）在[1，e]上的最小值为g（e^a）=-e^a；
③e≤e^a，即a≥1时，g（x）在[1，e]上单调递减，
∴g（x）在[1，e]上的最小值为g（e）=-ae，
综上，a≤0时，g（x）在[1，e]上的最小值为-a-1；
0＜a＜1时，g（x）在[1，e]上的最小值为-e^a；
a≥1时，g（x）在[1，e]上的最小值为-ae．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，其中根据已知条件求出导函数是解答本题的关键．