题目内容

P是双曲线x²- $数学公式$ =1右支上一点，F₁、F₂分别是左、右焦点，I是三角形PF₁F₂的内心（三条内角平分线交点），若 $数学公式$ =2 $数学公式$ +（1+ $数学公式$ ） $数学公式$ ，则实数λ的值为________．

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分析：利用三角形的面积公式与双曲线的定义，可求得λ= $\text{[math]}$ ，从而可求得答案．
解答：依题意，设双曲线x²- $\text{[math]}$ =1的焦距为2c，实轴长为2a，则c=2，a=1．
∵I是三角形PF₁F₂的内心，设三角形PF₁F₂的内切圆的半径为r，
则： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|）r，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ |PF₂|r， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ |F₁F₂|r，
∵ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ +（1+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ |PF₂|r|+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ |F₁F₂|r= $\text{[math]}$ |PF₁|r，
∴|PF₂|+ $\text{[math]}$ |F₁F₂|=|PF₁|，又P是双曲线x²- $\text{[math]}$ =1右支上一点，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴λ=2．
故答案为：2．
点评：本题考查三角形的面积公式与双曲线的定义及性质（离心率）的应用，求得λ= $\text{[math]}$ 是关键，考查转化与综合运用的能力，属于中档题．