Question

设点P是双曲线x2-

y2

3

=1上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使|PA|+

1

2

|PF|有最小值时，则点P的坐标是

(

21

3

，2)

．

Answer 1

分析：根据题意算出双曲线的离心率e=2，右准线方程为x=

1

2

．连结PF，过P作右准线的垂线，垂足为M，由双曲线第二定义得|PM|=

1

2

|PF|，从而得出|PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PM|，利用平面几何知识可得当P、A、M三点共线时，|PA|+|PM|=|AM|达到最小值．由此利用双曲线的方程加以计算，可得满足条件的点P的坐标．

解答：解：∵双曲线x2-

y2

3

=1中，a=1，b=

3

，
∴c=

a2+b2

=2，
可得双曲线的离心率e=

c

a

=2，右准线方程为x=

a2

c

即x=

1

2

，
设右准线为l，过P作PM⊥l于M点，连结PF，
由双曲线的第二定义，得

|PF|

|PM|

=e=2，可得|PM|=

1

2

|PF|．
∴|PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PM|，
运动点P，可得当P、A、M三点共线时，|PA|+|PM|=|AM|达到最小值．
此时经过P、A、M三点的直线与x轴平行，
设P（m，2），代入双曲线方程得m2-

22

3

=1，解之得m=

7 3

=

21

3

，得点P（

21

3

，2）．
∴满足使|PA|+

1

2

|PF|有最小值的点P坐标为（

21

3

，2）．
故答案为：(

21

3

，2)

点评：本题给出定点A与双曲线上的动点P，求|PA|+

1

2

|PF|有最小值时点P的坐标．着重考查了双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．