题目内容
设点P是圆x2+y2=4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为Po,且
=
.
(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+m(m≠0)与(Ⅰ)中的轨迹C交于不同的两点A,B.
(1)若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列,求实数m的取值范围;
(2)若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q,求证:直线l过定点(Q点除外),并求出该定点的坐标.
MP0 |
| ||
2 |
pp0 |
(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+m(m≠0)与(Ⅰ)中的轨迹C交于不同的两点A,B.
(1)若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列,求实数m的取值范围;
(2)若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q,求证:直线l过定点(Q点除外),并求出该定点的坐标.
(Ⅰ)设点M(x,y),P(x0,y0),则由题意知P0(x0,0).
由
=(x0-x,-y),
=(0,-y0),且
=
,得(x0-x,-y)=
(0,-y0).
所以
,于是
,
又x02+y02=4,所以x2+
y2=4.
所以,点M的轨迹C的方程为
+
=1.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立
,得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0.
所以,△=(8mk)2-16(3+4k2)(m2-3)>0,即3+4k2-m2>0.①,且
,
(1)依题意,kAB2=kOA•kOB,即k2=
,所以k2=
•
.
所以x1x2k2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
所以km(x1+x2)+m2=0,即km(-
)+m2=0.
因为m≠0,所以k(-
)+1=0,解得k2=
.
将得k2=
代入①,得m2<6.
所以,m的取值范围是(-
,0)∪(0,
).
(2)曲线
+
=1与x轴正半轴的交点为Q(2,0).
依题意,
⊥
,即
•
=0.
于是(2-x1,-y1)•(2-x2,-y2)=0.
∴x1 x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,即x1 x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0,
∴(k2+1)•
+(km-2)•(-
)+4+m2=0,
化简,得7m2+16mk+4k2=0.
解得,m=-2k或m=-
,且均满足3+4k2-m2>0,
当m=-2k时,直线l的方程为y=k(x-2),直线过定点(2,0)(舍去);
当m=-
时,直线l的方程为y=k(x-
),直线过定点(
,0).
所以,直线过定点(
,0).
由
MP0 |
PP0 |
MP0 |
| ||
2 |
PP0 |
| ||
2 |
所以
|
|
又x02+y02=4,所以x2+
4 |
3 |
所以,点M的轨迹C的方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立
|
所以,△=(8mk)2-16(3+4k2)(m2-3)>0,即3+4k2-m2>0.①,且
|
(1)依题意,kAB2=kOA•kOB,即k2=
y1y2 |
x1x2 |
kx1+m |
x1 |
kx2+m |
x2 |
所以x1x2k2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
所以km(x1+x2)+m2=0,即km(-
8mk |
3+4k2 |
因为m≠0,所以k(-
8k |
3+4k2 |
3 |
4 |
将得k2=
3 |
4 |
所以,m的取值范围是(-
6 |
6 |
(2)曲线
x2 |
4 |
y2 |
3 |
依题意,
AQ |
BQ |
AQ |
BQ |
于是(2-x1,-y1)•(2-x2,-y2)=0.
∴x1 x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,即x1 x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0,
∴(k2+1)•
4(m2-3) |
3+4k2 |
8mk |
3+4k2 |
化简,得7m2+16mk+4k2=0.
解得,m=-2k或m=-
2k |
7 |
当m=-2k时,直线l的方程为y=k(x-2),直线过定点(2,0)(舍去);
当m=-
2k |
7 |
2 |
7 |
2 |
7 |
所以,直线过定点(
2 |
7 |

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