Question

设点P是圆x²+y²=4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP₀，垂足为P_o，且

MP0

=

3

2

pp0

．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（m≠0）与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A，B．
（1）若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线l过定点（Q点除外），并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）代入法：设点M（x，y），P（x₀，y₀），则由题意知P₀（x₀，0），由

MP0

=

3

2

PP0

可得点M与点P坐标间的关系式，再根据点P在圆上代入P点坐标即可得到M坐标方程，即所求轨迹方程；
（Ⅱ）（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

消掉y得x的二次方程，由题意知△＞0①，根据直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，得kAB2=kOA•kOB，即k2=

y1y2

x1x2

，借助韦达定理可得m、k的等式，进而求得k值，代入①即可解得m的范围；（2）依题意，

AQ

⊥

BQ

，即

AQ

•

BQ

=0，变形为x₁、x₂的式子，进而用韦达定理可得k、m的等式，据m与k的关系式消掉直线l方程y=kx+m中的m，即可求得该直线所过定点；

解答：解：（Ⅰ）设点M（x，y），P（x₀，y₀），则由题意知P₀（x₀，0）．
由

MP0

=(x0-x，-y)，

PP0

=（0，-y₀），且

MP0

=

3

2

PP0

，得（x₀-x，-y）=

3

2

（0，-y₀）．
所以

x0-x=0 -y=- 3 2 y0

，于是

x0=x y0= 2 3 y

，
又x02+y02=4，所以x2+

4

3

y2=4．
所以，点M的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0．
所以，△=（8mk）²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，即3+4k²-m²＞0．①，且

x1+x2=- 8mk 3+4k2 x1x2= 4(m2-3) 3+4k2

，
（1）依题意，kAB2=kOA•kOB，即k2=

y1y2

x1x2

，所以k2=

kx1+m

x1

•

kx2+m

x2

．
所以x1x2k2=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
所以km（x₁+x₂）+m²=0，即km（-

8mk

3+4k2

）+m²=0．
因为m≠0，所以k（-

8k

3+4k2

）+1=0，解得k2=

3

4

．
将得k2=

3

4

代入①，得m²＜6．
所以，m的取值范围是（-

6

，0）∪（0，

6

）．
（2）曲线

x2

4

+

y2

3

=1与x轴正半轴的交点为Q（2，0）．
依题意，

AQ

⊥

BQ

，即

AQ

•

BQ

=0．
于是（2-x₁，-y₁）•（2-x₂，-y₂）=0．
∴x1 x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，即x1 x₂-2（x₁+x₂）+4+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
∴（k²+1）•

4(m2-3)

3+4k2

+（km-2）•（-

8mk

3+4k2

）+4+m²=0，
化简，得7m²+16mk+4k²=0．
解得，m=-2k或m=-

2k

7

，且均满足3+4k²-m²＞0，
当m=-2k时，直线l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0）（舍去）；
当m=-

2k

7

时，直线l的方程为y=k（x-

2

7

），直线过定点（

2

7

，0）．
所以，直线过定点（

2

7

，0）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程、直线斜率及等比数列等有关知识，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强，难度较大．