题目内容
已知二次函数y=f(x)在x=2处取得极值．(Ⅰ)若f(x)在[-4,4]上的最大值为18，最小值为-18，求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若曲线y=f(x)在A[1,f(1)]、D[3，f(3)]处的两条切线l1、l2，交于点C，且f′(1)=-2，求△ABC的面积.
解：(Ⅰ)依题意，设f(x)=a(x-2)2+b(a≠0)
当a＞0时，则f(-4)=18，f(-2)=-18，
∴
解得a=1,b=-18
当a＜0时，则f(2)=18，f(-4)=-18，
∴
解得a=-1，b=18
∴所求解析式为
f(x)=x2=4x-14或f(x)=-x2+4x+14
(Ⅱ)f(x)=a(x-2)2+b=ax2-4ax+4a+b
f′(x)=2ax-4a
f′(1)=-2，∴2a-4a=-2，∴a=1
∴f(1)=1+b，f(3)=1+b即A(1，1+b)，B(3，1+b)
f′(3)=6a-4a=2
设l1、l2的方程为：y-(1+b)=-2(x-1)
y-(1+b)=2(x-3)
上式联立解得y=b-1
即C点的纵坐标为b-1
∴△ABC的AB边上的高h=|(b-1)-(1+b)|=2
又|AB|=2
∴△ABC的面积S=
·|AB|·h=2
练习册系列答案
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已知二次函数y=f（x）的图象如图所示：