题目内容

已知f(x)=ax-1-1,(a>1)的反函数为f-1(x).
(1)若函数y=f-1(2x+
mx
-4)
在区间(m,+∞)上单增,求实数m的取值范围;
(2)若关于x的方程f-1(x-1)•[f-1(x-1)-p]=-2在(1,+∞)内有两个不相等的实数根,求实数p的取值范围.
分析:(1)先求反函数,再将问题转化为u=2x+
m
x
-3
在(m,+∞)上单增且恒正,从而可求实数m的取值范围;
(2)令t=logax,利用换元法将方程f-1(x-1)•[f-1(x-1)-p]=-2转化为t2+(2-p)t+3-p=0有两个不相等的正数根t1,t2,利用韦达定理可求实数p的取值范围.
解答:解:设y=ax-1-1,(a>1)
则ax-1=y+1
∴x-1=loga(y+1)
∴x=1+loga(y+1)
∴f-1(x)=1+loga(x+1)
(1)y=f-1(2x+
m
x
-4)=1+loga(2x+
m
x
-3)

因为a>1,故题意等价于u=2x+
m
x
-3
在(m,+∞)上单增且恒正,
故必有m>0
于是u′=2-
m
x2
≥0,x∈(m,+∞)
且x=m时,即2m+
m
m
-3≥0

解得m∈[1,+∞);
(2)方程f-1(x-1)•[f-1(x-1)-p]=-2即(1+logax)•(1-p+logax)=-2
令t=logax,因为a>1,故当x∈(1,+∞)时,t>0
∵x的方程f-1(x-1)•[f-1(x-1)-p]=-2在(1,+∞)内有两个不相等的实数根,
∴t2+(2-p)t+3-p=0有两个不相等的正数根t1,t2
△=(2-p)2-4(3-p)>0
t1+t2=p-2>0
t1t2=-p>0

2
2
<p<3

∴实数p的取值范围为(2
2
,3)
点评:本题以函数为载体,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,等价转化是关键.
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