题目内容
已知f(x)=a
x-1-1,(a>1)的反函数为f
-1(x).
(1)若函数
y=f-1(2x+-4)在区间(m,+∞)上单增,求实数m的取值范围;
(2)若关于x的方程f
-1(x-1)•[f
-1(x-1)-p]=-2在(1,+∞)内有两个不相等的实数根,求实数p的取值范围.
分析:(1)先求反函数,再将问题转化为
u=2x+-3在(m,+∞)上单增且恒正,从而可求实数m的取值范围;
(2)令t=log
ax,利用换元法将方程f
-1(x-1)•[f
-1(x-1)-p]=-2转化为t
2+(2-p)t+3-p=0有两个不相等的正数根t
1,t
2,利用韦达定理可求实数p的取值范围.
解答:解:设y=a
x-1-1,(a>1)
则a
x-1=y+1
∴x-1=log
a(y+1)
∴x=1+log
a(y+1)
∴f
-1(x)=1+log
a(x+1)
(1)
y=f-1(2x+-4)=1+loga(2x+-3),
因为a>1,故题意等价于
u=2x+-3在(m,+∞)上单增且恒正,
故必有m>0
于是
u′=2-≥0,x∈(m,+∞)且x=m时,即
2m+-3≥0,
解得m∈[1,+∞);
(2)方程f
-1(x-1)•[f
-1(x-1)-p]=-2即(1+log
ax)•(1-p+log
ax)=-2
令t=log
ax,因为a>1,故当x∈(1,+∞)时,t>0
∵x的方程f
-1(x-1)•[f
-1(x-1)-p]=-2在(1,+∞)内有两个不相等的实数根,
∴t
2+(2-p)t+3-p=0有两个不相等的正数根t
1,t
2,
故
| △=(2-p)2-4(3-p)>0 | t1+t2=p-2>0 | t1t2=-p>0 |
| |
∴
2<p<3∴实数p的取值范围为
(2,3) 点评:本题以函数为载体,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,等价转化是关键.
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