Question

已知函数f(x)=ax³+3x²-6ax-11,g(x)=3x²+6x+12和直线m:y=kx+9.又f′(-1)=0,

(1)求a的值;

(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.

(3)如果对于所有x≥-2的x,都有f(x)≤kx+9≤g(x)成立,求k的取值范围.

Answer 1

解:(1)∵f′(x)=3ax²+6x-6a,

∴f′(-1)=0,即3a-6-6a=0.

∴a=-2.

(2)∵直线m恒过点(0,9),

先求直线m是y=g(x)的切线.

设切点为(x₀,3+6x₀+12),

∵g′(x₀)=6x₀+6,

∴切线方程为y-(3+6x₀+12)=(6x₀+6)(x-x₀).

将点(0,9)代入       得x₀=±1.

当x₀=-1时,切线方程为y=9;

当x₀=1时,切线方程为y=12x+9.

由f′(x)=0得-6x²+6x+12=0,

即有x=-1,x=2.

当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18;

当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9.

∴y=9是公切线.

又由f′(x)=12得-6x²+6x+12=12.

∴x=0或x=1.

当x=0时y=f(x)的切线方程为y=12x-11;

当x=1时y=f(x)的切线方程为y=12x-10.

∴y=12x+9不是公切线.

综上所述,k=0时y=9是两曲线的公切线.

(3)①kx+9≤g(x)得kx≤3x²+6x+3,

当x=0时,不等式恒成立,k∈R.

当-2≤x＜0时,不等式为k≥3(x+)+6,

而3(x+)+6=-3［(-x)+］+6≤-3·2+6=0,

∴k≥0.

当x＞0时,不等式为k≤3(x+)+6.

∵3(x+)+6≥12,∴k≤12.

∴当x≥-2时,kx+9≤g(x)恒成立,则0≤k≤12.

②由f(x)≤kx+9得kx+9≥-2x³+3x²+12x-11.

当x=0时,9≥-11恒成立,k∈R;

当-2≤x＜0时,有k≤-2x²+3x+12-.

设h(x)=-2x²+3x+12-=-2(x-)²+-,

当-2≤x＜0时,-2(x-)²+为增函数,-也为增函数,

∴h(x)≥h(-2)=8.

∴要使f(x)≤kx+9在-2≤x＜0上恒成立,则k≤8.

由上述过程只要考虑0≤k≤8,则当x＞0时,f′(x)=-6x²+16x+12=-6(x+1)(x-2).

∴在x∈(0,2］时,f′(x)＞0,

在x∈(2,+∞)时,f′(x)＜0.

∴f(x)在x=2时有极大值,即f(x)在(0,+∞)上的最大值.

又f(2)=9,即f(x)≤9,

而当x＞0,k≥0时,kx+9＞9,

∴f(x)≤kx+9一定成立.

综上所述,0≤k≤8.