题目内容

已知点A(-1,0)、B(1,0)和动点P满足:∠APB=2θ,且|PA|•|PB|cos2θ=1.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设过点A的直线l交曲线C于E、F两点,若△BEF的面积等于数学公式,求直线l的方程.

解:(1)在△PAB中,
由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|•|PB|cos2θ,
∴4=(|PA|+|PB|)2-2|PA||PB|(1+cos2θ)
=(|PA|+|PB|)2-4|PA|•|PB|cos2θ
=(|PA|+|PB|)2-4.

即动点P的轨迹为以A、B为两焦点的椭圆.
∴动点P的轨迹C的方程为:
(2)设直线l的方程为x=ty-1,

得到(t2+2)y2-2ty-1=0,
设E(x1,y1),F(x2,y2),


=
=
=
=
解得t2=1,
∴t=±1,
当t=±1,方程(t2+2)y2-2ty-1=0的△=4+4×3=16>0适合,
∴直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.
分析:(1)在△PAB中,由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|•|PB|cos2θ,所以,由此能求出动点P的轨迹C的方程.
(2)设直线l的方程为x=ty-1,由,得到(t2+2)y2-2ty-1=0,设E(x1,y1),F(x2,y2),则=.由此能求出直线l的方程.
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,是高考的重点,易错点是知识体系不牢固.本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
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