Question

如图，设圆（x-5）²+y²=16的圆心为C，此圆和抛物线y²=px（p＞0）有四个交点，若在x轴上方的两个交点为A（x₁，），B（x₂，）（x₁＜x₂），坐标原点为O，△AOB的面积为S．
（1）求p的取值范围；
（2）求S关于p的函数f（p）的表达式及S的最大值；
（3）求当S取最大值时，向量与的夹角．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为圆和抛物线有四个交点，所以联立两个方程，消去y，根据圆和抛物线的对称性，得到的关于x的一元二次方程有两个不同正根，据此可求出参数p的范围．
（2）△AOB的面积可用|AB|乘以O到AB的距离来计算，用弦长公式计算|AB|，点到直线的距离公式计算O到AB的距离，就可得到S关于p的函数f（p）的表达式，再根据（1）中所求p的范围求最大值．
（3）用数量级的夹角公式计算即可．
解答：解：（1）把 y²=px代入（x-5）²+y²=16得 x²+（p-10）x+9=0
依题意得方程x²+（p-10）x+9=0有两个不同的正根为x₁，x₂
∴x₁+x₂=10-p，x₁x₂=9，∴解得p＜4又∵p＞0
∴p的取值范围是（0，4）
（2）∵直线AB的斜率
∴AB的方程：=，
即 ，即 
∴点O到AB的距离，
又
∴S=f（p）==≤3，
当且仅当p=2时S取最大值为3
（3）S取最大值时，p=2，解方程x²-8x+9=0，得
=，=（，=-6+6=0
∴向量的夹角的大小为90°．
点评：本题考查了圆与双曲线位置关系的判断，以及弦长公式，点到直线距离公式，向量的数量积公式的应用，用到公式较多，平时做题中应注意积累．