题目内容
已知椭圆的一个焦点为,且离心率为.
(1)求椭圆方程;
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,点关于轴的对称点为,求△面积的最大值.
(1);(2).
解析试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、均值定理等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用椭圆的焦点、离心率的定义列出方程,解出基本量a和b,得到椭圆的标准方程;第二问,利用点斜式先设出直线的方程,令直线与椭圆方程联立,消参得到关于x的方程,利用韦达定理得到,,列出和的面积,从而得到的面积表达式,将,代入,最后利用均值定理得到最大值,注意要讨论最大值成立的条件.
(1)依题意有,.
可得,.
故椭圆方程为. 5分
(2)直线的方程为.
联立方程组
消去并整理得. (*)
设,.
故,.
不妨设,显然均小于.
则,
.
.
等号成立时,可得,此时方程(*)为 ,满足.
所以面积的最大值为. 13分
考点:椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、均值定理.
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