题目内容
给定椭圆.称圆心在原点O,半径为
的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线,使得
与椭圆C都只有一个交点,试判断
是否垂直?并说明理由.
(1) ; (2)
垂直.
解析试题分析:(1)由“椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F的距离为
”知:
从而可得椭圆的标准方程和“准圆”的方程;
(2)分两种情况讨论:①当中有一条直线斜率不存在;②直线
斜率都存在.
对于①可直接求出直线的方程并判断其是不互相垂直;
对于②设经过准圆上点与椭圆只有一个公共点的直线为
与椭圆方程联立组成方程组消去
得到关于
的方程:
由化简整理得:
而直线的斜率正是方程的两个根
,从而
(1)椭圆方程为
准圆方程为
(2)①当中有一条无斜率时,不妨设
无斜率,
因为与椭圆只有一个共公点,则其方程为
当方程为
时,此时
与准圆交于点
此时经过点(或
)且与椭圆只有一个公共眯的直线是
(或
)
即为
(或
),显然直线
垂直;
同理可证方程为
时,直线
也垂直.
②当都有斜率时,设点
其中
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
则由消去
,得
由化简整理得:
因为,所以有
设的斜率分别为
,因为
与椭圆只有一个公共点
所以满足上述方程
所以,即
垂直,
综合①②知, 垂直.
考点:1、椭圆的标准方程;2、直线与圆锥曲线的综合问题.

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