题目内容
给定椭圆
．称圆心在原点O，半径为
的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到F的距离为
．
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线
，使得
与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由．
(1) 
； (2) 垂直．
解析试题分析：（1）由“椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为”知：
从而可得椭圆的标准方程和“准圆”的方程；
（2）分两种情况讨论：①当中有一条直线斜率不存在；②直线斜率都存在．
对于①可直接求出直线的方程并判断其是不互相垂直；
对于②设经过准圆上点
与椭圆只有一个公共点的直线为
与椭圆方程联立组成方程组
消去
得到关于
的方程：
由
化简整理得：
而直线的斜率正是方程的两个根
，从而
（1）
椭圆方程为
准圆方程为
（2）①当中有一条无斜率时，不妨设
无斜率，
因为与椭圆只有一个共公点，则其方程为
当方程为
时，此时与准圆交于点
此时经过点
（或
）且与椭圆只有一个公共眯的直线是
（或
）
即
为（或），显然直线垂直；
同理可证方程为
时，直线也垂直．
②当都有斜率时，设点其中
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
则由消去，得
由化简整理得：
因为，所以有
设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点
所以满足上述方程
所以，即垂直,
综合①②知, 垂直．
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的综合问题．
练习册系列答案
相关题目
的一个焦点为
，且离心率为
． 
且斜率为
的直线与椭圆交于
两点，点
关于
轴的对称点为
，求△
面积的最大值. 
)上一动点,点N(0,m)是圆M所在平面内一定点,线段NP的垂直平分线l与直线MP相交于点Q.
的焦点在x轴上．
的中心在原点
，焦点在
轴上，离心率为
，右焦点到右顶点的距离为
.
与椭圆
两点，是否存在实数
，使
成立？若存在，求
的椭圆
上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆
内一点
的两条直线分别与椭圆交于点
、
和
、
，且满足
，其中
为常数，过点
的平行线交椭圆于
、
两点.
，求直线
的方程，并证明点
左、右焦点分别为F1、F2，点P（2，
），点F2在线段PF1的中垂线上．
与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的斜率互为相反数，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．
：
的一个焦点为
，离心率为
．设
是椭圆
的直线
交椭圆于
，
两点.
的最大值.
的左右顶点分别为
，离心率
．
为曲线
:
上任一点（
），直线
与直线
交于点
，
为线段
的中点，试判断直线
与曲线