题目内容
在平面直角坐标系中,已知点P(1,-1),过点P作抛物线T0:y=x2的切线,其切点分别为M(x1,y1)、N(x2,y2)(其中x1<x2).(Ⅰ)求x1与x2的值;
(Ⅱ)若以点P为圆心的圆E与直线MN相切,求圆E的面积;
(Ⅲ)过原点O(0,0)作圆E的两条互相垂直的弦AC,BD,求四边形ABCD面积的最大值.
分析:(Ⅰ)由y=x2先求出y′=2x.再由直线PM与曲线T0相切,且过点P(1,-1),得到x1=
=1-
,或x1=1+
.同理可得x2=1-
,或x2=1+
,然后由x1<x2知x1=1-
,x2=1+
.
(Ⅱ)由题意知,x1+x2=2,x1•x2=-1,则直线MN的方程为:2x-y+1=0.再由点P到直线MN的距离即为圆E的半径,可求出圆E的面积.
(Ⅲ)四边形ABCD的面积为S=
|AC|•|BD|,设圆心E到直线AC的距离为d1,垂足为E1,圆心E到直线BD的距离为d2,垂足为E2;
由此可求出四边形ABCD面积的最大值.
2-
| ||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
(Ⅱ)由题意知,x1+x2=2,x1•x2=-1,则直线MN的方程为:2x-y+1=0.再由点P到直线MN的距离即为圆E的半径,可求出圆E的面积.
(Ⅲ)四边形ABCD的面积为S=
1 |
2 |
由此可求出四边形ABCD面积的最大值.
解答:解:(Ⅰ)由y=x2可得,y′=2x.(1分)
∵直线PM与曲线T0相切,且过点P(1,-1),
∴2x1=
,即x12-2x1-1=0,
∴x1=
=1-
,或x1=1+
,(3分)
同理可得:x2=1-
,或x2=1+
(4分)
∵x1<x2,∴x1=1-
,x2=1+
.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,x1+x2=2,x1•x2=-1,
则直线MN的斜率k=
=
=x1+x2,--(6分)
∴直线M的方程为:y-y1=(x1+x2)(x-x1),又y1=x12,
∴y-x12=(x1+x2)x-x12-x1x2,即2x-y+1=0.(7分)
∵点P到直线MN的距离即为圆E的半径,即r=
=
,(8分)
故圆E的面积为S=πr2=
.(9分)
(Ⅲ)四边形ABCD的面积为S=
|AC|•|BD|
不妨设圆心E到直线AC的距离为d1,垂足为E1;
圆心E到直线BD的距离为d2,垂足为E2;
则|AC|=2
,|BD|=2
,(10分)
由于四边形EE1OE2为矩形.且d12+d22=|OE|2=(1-0)2+(-1-0)2=2(11分)
所以S=
|AC|•|BD|=2
•
由基本不等式2ab≤a2+b2可得
S≤(
)2+(
)2=2r2-(
+
)=
,
当且仅当d1=d2时等号成立.(14分)
注:(Ⅲ)解法较多,阅卷时可酌情给分.
∵直线PM与曲线T0相切,且过点P(1,-1),
∴2x1=
| ||
x1-1 |
∴x1=
2-
| ||
2 |
2 |
2 |
同理可得:x2=1-
2 |
2 |
∵x1<x2,∴x1=1-
2 |
2 |
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,x1+x2=2,x1•x2=-1,
则直线MN的斜率k=
y1-y2 |
x1-x2 |
| ||||
x1-x2 |
∴直线M的方程为:y-y1=(x1+x2)(x-x1),又y1=x12,
∴y-x12=(x1+x2)x-x12-x1x2,即2x-y+1=0.(7分)
∵点P到直线MN的距离即为圆E的半径,即r=
|2+1+1| | ||
|
4 | ||
|
故圆E的面积为S=πr2=
16π |
5 |
(Ⅲ)四边形ABCD的面积为S=
1 |
2 |
不妨设圆心E到直线AC的距离为d1,垂足为E1;
圆心E到直线BD的距离为d2,垂足为E2;
则|AC|=2
r2-
|
r2-
|
由于四边形EE1OE2为矩形.且d12+d22=|OE|2=(1-0)2+(-1-0)2=2(11分)
所以S=
1 |
2 |
r2-
|
r2-
|
由基本不等式2ab≤a2+b2可得
S≤(
r2-
|
r2-
|
d | 2 1 |
d | 2 2 |
22 |
5 |
当且仅当d1=d2时等号成立.(14分)
注:(Ⅲ)解法较多,阅卷时可酌情给分.
点评:本题考查直线和圆锥轼线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.
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