题目内容
【题目】对于无穷数列,记
,若数列
满足:“存在
,使得只要
(
且
),必有
”,则称数列
具有性质
.
(Ⅰ)若数列满足
判断数列
是否具有性质
?是否具有性质
?
(Ⅱ)求证:“是有限集”是“数列
具有性质
”的必要不充分条件;
(Ⅲ)已知是各项为正整数的数列,且
既具有性质
,又具有性质
,求证:存在整数
,使得
是等差数列.
【答案】(Ⅰ)数列不具有性质
;具有性质
;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据新定义直接验证即可的结论(2)对于“是有限集”是“数列
具有性质
”的必要不充分条件,先证不充分性对于周期数列
,
是有限集,但是由于
,
所以不具有性质;再证必要性因为数列
具有性质
,所以一定存在一组最小的
且
,满足
,即
,所以数列
中必然会以某个周期进行,所以数列
中最多有
个不同的项,从而得证(3)因为数列
具有性质
,数列
具有性质
,所以存在
,使得
,
,其中
分别是满足上述关系式的最小的正整数,然后根据其性质列出相关等式可得结论,然后逐一分析取值讨论
试题解析:
(Ⅰ)数列不具有性质
;具有性质
.
(Ⅱ)(不充分性)对于周期数列,
是有限集,但是由于
,
所以不具有性质;
(必要性)因为数列具有性质
,
所以一定存在一组最小的且
,满足
,即
由性质的含义可得
所以数列中,从第k项开始的各项呈现周期性规律:
为一个周期中的各项,
所以数列中最多有
个不同的项,
所以最多有
个元素,即
是有限集.
(Ⅲ)因为数列具有性质
,数列
具有性质
,
所以存在,使得
,
,其中
分别是满足上述关系式的最小的正整数,
由性质的含义可得
,
,
若,则取
,可得
;
若,则取
,可得
.
记,则对于
,有
,
,显然
,
由性质的含义可得
,
,
所以
所以.
所以,
又是满足
,
的最小的正整数,
所以,
,
所以,
,
所以,
,
,
取,则
,
所以,若是偶数,则
;
若是奇数,则
,
所以,
所以是公差为1的等差数列.
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