Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB，b=2，则△ABC面积的最大值为 ．

Answer 1

【答案】 +1
【解析】解：在△ABC中，∵a=bcosC+ccosB，又a=bcosC+csinB，b=2，
∴cosB=sinB，
∴tanB=1，B∈（0，π）．
由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，
∴4≥2ac﹣ ac，当且仅当a=c时取等号．
∴ac≤4+2 ．
∴S△ABC= acsinB≤ （4+2 ）× = +1．
故答案为： +1．
a=bcosC+ccosB，又a=2cosC+csinB，b=2，可得B．由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，利用基本不等式的性质可得ac≤4+2 ，即可得出三角形面积的最大值．