Question

【题目】[选修4-5：不等式选讲]

已知函数f（x）=|ax﹣2|．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞x+1；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）＜ 有实数解，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式为：|2x﹣2|＞x+1，
当x≥1时，不等式化为：2x﹣2＞x+1，解得x＞3
当x＜1时，不等式化为：2﹣2x＞x+1，解得
综上所述，解集为 ；
（II）因为f（x）+f（﹣x）=|ax﹣2|+|﹣ax﹣2|≥|ax﹣2﹣ax﹣2|=4
所以f（x）+f（﹣x）的最小值为4，
因为f（x）+f（﹣x）＜ 有实数解，
所以
【解析】（Ⅰ）把a=2代入不等式化简后，对x分类讨论，分别去掉绝对值求出每个不等式的解集，再取并集即得不等式的解集；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出f（x）+f（﹣x）的最小值，结合题意列出不等式，求出实数m的范围．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．