题目内容

在△ABC中，已知 $数学公式$ ．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）求AB边的长；
（3）若 $数学公式$ ，求△ABC的面积．

解：（1）∵ $\text{[math]}$
∴| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cos（π-A）=| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cos（π-B）
可得| $\text{[math]}$ |cosA=| $\text{[math]}$ |cosB，即bcosA=acosB
根据正弦定理，得sinBcosA=sinAcosB，

∴sin（A-B）=0，结合A-B∈（0，π）得A-B=0
因此A=B，得△ABC是以AB为底边的等腰三角形；
（2）过C作CD⊥AB于D
∵△ABC中，CA=CB，∴D为AB中点
由此可得 $\text{[math]}$ =-| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cosA=-1
即-| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |• $\text{[math]}$ =-1，得- $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |²=-1
∴| $\text{[math]}$ |²=2，得| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，即AB边的长为 $\text{[math]}$ ；
（3）取BC中点E，连接AE
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$
设AC=BC=x，得（2AE）²+x²=2（x²+AB²）
即6+x²=2（x²+2），解得x= $\text{[math]}$ ，可得△ABC是边长等于 $\text{[math]}$ 的等边三角形，
∴△ABC的面积S= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据向量数量积公式，化简已知等式可得| $\text{[math]}$ |cosA=| $\text{[math]}$ |cosB，结合正弦定理得sin（A-B）=0，从而得到A=B，得△ABC是以AB为底边的等腰三角形；
（2）过C作CD⊥AB于D，由直角三角形三角函数的定义，结合 $\text{[math]}$ =-1化简可得- $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |²=-1，从而算出| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，得到AB边的长；
（3）取BC中点E，连接AE，可得中线AE的长为 $\text{[math]}$ ，设AC=BC=x，利用三角形中线满足的平方关系列式，得6+x²=2（x²+2），解得x= $\text{[math]}$ ，得△ABC是边长等于 $\text{[math]}$ 的等边三角形，从而得到△ABC的面积S= $\text{[math]}$ ．
点评：本题给出等腰三角形满足的向量关系式，求它的底边之长并在已知腰上中线长的情况下求三角形的面积，着重考查了正、余弦定理解三角形和向量的数量积在几何中的应用等知识，属于中档题．