Question

已知命题p：函数(a≠0)在(0，1)内恰有一个零点；命题q：函数在(0，+)上是减函数．若p且为真命题，则实数a的取值范围是(  )

A．a>1              B．a≤2             C．1<a≤2           D．a≤l或a>2

 

Answer 1

【答案】

C  

【解析】

试题分析：a=0时，有零点－1，不符合题意；

时，函数(a≠0)在(0，1)内恰有一个零点，由于f(0)=-1<0，根据二次函数的图像，共有两种情况:

1.f(x)在（0,1)上是单调函数，则f(0)·f(1)<0

所以 -1(2a-2)<0，解得a>1；

2.f(x)的顶点在(0,1)之间，且开口向下即a<0,f(x)=0有相等实根,所以△=0，即1+8a=0，解得=-，此时x=-2与题意不符，舍去；综合可知，a>1,即p: a>1.

因为，函数在(0，+)上是减函数，所以2-a<0,a>2, : .

由p且为真命题，知，p: a>1且: ，故1<a≤2,选C。

考点：本题主要考查幂函数的性质，二次函数的零点，复合命题的概念。

点评：中档题，涉及命题的题目，往往综合性较强，需要综合应用数学知识的解题。