题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为 $数学公式$ ，数列{b_n}满足： $数学公式$ ，前n项和为T_n，设C_n=T_2n+1-T_n．　
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）是否存在自然数k，当n≥k时，总有 $数学公式$ 成立，若存在，求自然数k的最小值．若不存在，说明理由．

解：（1）a₁=2，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
∴ $\text{[math]}$
（2）C_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
∵ $\text{[math]}$
∴数列{C_n}是单调递减数列．
由（2）知：C_n＜C_n-1＜…＜C₃＜C₂＜C₁
当n=1时， $\text{[math]}$
当n=2时， $\text{[math]}$
当n=3时， $\text{[math]}$
当n≥3时， $\text{[math]}$
故，k_min=3．
分析：（1）由数列{a_n}的前n项和公式S_n=n²+1，先求出a_n，再由b_n= $\text{[math]}$ ，求数列{b_n}的通项公式．
（2）由c_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，知c_n+1-c_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜0，所以{c_n}是递减数列，从而得出存在自然数k，当n≥k时，总有 $\text{[math]}$ 成立．
点评：本题考查数列与不等式的综合、数列的求和，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，仔细求解．

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