Question

若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称．
（Ⅰ）已知函数f(x)=

x2+mx+m

x

的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；
（Ⅱ）已知函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x²+ax+1，求函数g（x）在（-∞，0）上的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，当t＞0时，若对任意实数x∈（-∞，0），恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数f(x)=

x2+mx+m

x

的图象关于点（0，1）对称，可得f（x）+f（-x）=2，代入解析式，即可求得m的值；
（Ⅱ）利用函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，可得g（x）+g（-x）=2，根据x∈（0，+∞）时的解析式，即可求得结论；
（Ⅲ）对任意实数x∈（-∞，0），恒有g（x）＜f（t）成立，等价于g（x）_max＜f（t）_min，由此可求实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题设，∵函数f(x)=

x2+mx+m

x

的图象关于点（0，1）对称，
∴f（x）+f（-x）=2，
∴

x2+mx+m

x

+

x2-mx+m

-x

=2
∴m=1…（4分）
（Ⅱ）∵函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，
∴g（x）+g（-x）=2，
∵当x∈（0，+∞）时，g（x）=x²+ax+1，
∴当x＜0时，g（x）=2-g（-x）=-x²+ax+1…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f(t)=t+

1

t

+1(t＞0)，其最小值为f（1）=3
g(x)=-x2+ax+1=-(x-

a

2

)2+1+

a2

4

，…（10分）
①当

a

2

＜0，即a＜0时，g(x)max=1+

a2

4

＜3，∴a∈(-2

2

，0)…（12分）
②当

a

2

≥0，即a≥0时，g（x）_max＜1＜3，∴a∈[0，+∞）…（13分）
由①、②得a∈(-2

2

，+∞)…（14分）

点评：本题考查函数的对称性，考查函数的解析式，考查恒成立问题，正确求出函数的最值是关键．