Question

设是定义在[-1，1]上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，

且当x∈[ 2，3 ] 时， ．

（1）求的解析式；

（2）若在上为增函数，求的取值范围；

（3）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)= -2ax+4x³；当x∈时，f(x)=f(-x)=2ax-4x³，

      ∴………………………………………4分

      （2）由题设知，＞0对x∈恒成立，即2a-12x²＞0对x∈恒成立，于是，a＞6x²，从而a＞(6x²)_max=6．………………………8分

      （3）因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x³在x∈的最大值．

          令=2a-12x²=0，得．…10分     若∈，即0＜a≤6，则

          ，

          故此时不存在符合题意的；

        若＞1，即a＞6，则在上为增函数，于是．

      令2a-4=12，故a=8．             综上，存在a = 8满足题设．………………14分