Question

设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）若直线x=-t（0＜t＜1把y=f（x））的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c，根据f′（x）=2x+2求出a、b的值，再由方程f（x）=0有两个相等的实根，△=0，求得c的值，即可得到函数的解析式．
（2）由题意可得

f

-t -1

 （ x²+2x+1）dx=

f

0 -t

（ x²+2x+1）dx，即（

1

3

x³+x²+x）

|

-t -1

=（

1

3

x³+x²+x）

|

0 -t

，
化简得2（t-1）³=-1，由此求得t的值．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又因为 f′（x）=2x+2，
∴a=1，b=2，∴f（x）=x²+2x+c．
由于方程f（x）=0有两个相等的实根，∴△=4-4c=0，解得 c=1，∴f（x）=x²+2x+1．
（2）由题意可得

f

-t -1

 （ x²+2x+1）dx=

f

0 -t

（ x²+2x+1）dx，
即 （

1

3

x³+x²+x）

|

-t -1

=（

1

3

x³+x²+x）

|

0 -t

，
即-

1

3

t³+t²-t+

1

3

=

1

3

t³-t²+t，
∴2t³-6t²+6t-1=0，
即2（t-1）³=-1，∴t=1-

1

3 2

．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，导数的运算，定积分的应用，属于中档题．