题目内容

(2012•江西模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:
x -
π
4
0
π
6
π
4
π
2
3
4
π
y 0 1
1
2
0 -1 0
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在△ABC中,AC=2,BC=3,f(A)=-
1
2
(A为锐角),求△ABC的面积.
分析:(1)观察表格可得出函数f(x)的周期为π,根据周期公式及ω大于0,可得出ω的值,然后再将x=-
π
4
时,y=0代入函数解析式中,并根据φ的范围,利用正弦函数的图象与性质得出φ的度数,将ω及φ的值代入,即可确定出函数f(x)的解析式;
(2)由第一问确定出的函数解析式,以及f(A)=-
1
2
,根据A为锐角,利用特殊角的三角函数值求出A的度数,进而确定出sinA及cosA的值,由sinA,AC及C的值,利用正弦定理求出sinB的值,由BC大于AC,根据大边对大角可得出B小于A,得到B的范围,由sinB的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值,然后利用诱导公式得到sinC=sin(A+B),将sin(A+B)利用两角和与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入求出sin(A+B)的值,即为sinC的值,最后由AC,BC及sinC的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
解答:解:(1)由题中表格给出的信息可知,
函数f(x)的周期为T=
4
-(-
π
4
)=π,且ω>0,
∴ω=
π
=2,
由表格得:sin[2×(-
π
4
)+φ]=0,可得:φ=
π
2
+2kπ(k∈Z),
由0<φ<π,所以φ=
π
2

所以函数的解析式为f(x)=sin(2x+
π
2
)=cos2x;…(6分)
(2)∵f(A)=cos2A=-
1
2
,且A为锐角,
∴2A=
3
,即A=
π
3

在△ABC中,AC=2,BC=3,
由正弦定理得
BC
sinA
=
AC
sinB

∴sinB=
AC•sinA
BC
=
3
3

∵BC>AC,∴B<A=
π
3
,∴cosB=
6
3

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
3
2
×
6
3
+
1
2
×
3
3
=
3
2
+
3
6

又AC=2,BC=3,
∴S△ABC=
1
2
AC•BC•sinC=
3
2
+
3
2
.…(12分)
点评:此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:三角函数的周期公式,正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,诱导公式,以及三角形的面积公式,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
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