题目内容
(2012•江西模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在△ABC中,AC=2,BC=3,f(A)=-
(A为锐角),求△ABC的面积.
x | … | -
|
0 |
|
|
|
|
… | ||||||||||
y | … | 0 | 1 |
|
0 | -1 | 0 | … |
(2)若在△ABC中,AC=2,BC=3,f(A)=-
1 |
2 |
分析:(1)观察表格可得出函数f(x)的周期为π,根据周期公式及ω大于0,可得出ω的值,然后再将x=-
时,y=0代入函数解析式中,并根据φ的范围,利用正弦函数的图象与性质得出φ的度数,将ω及φ的值代入,即可确定出函数f(x)的解析式;
(2)由第一问确定出的函数解析式,以及f(A)=-
,根据A为锐角,利用特殊角的三角函数值求出A的度数,进而确定出sinA及cosA的值,由sinA,AC及C的值,利用正弦定理求出sinB的值,由BC大于AC,根据大边对大角可得出B小于A,得到B的范围,由sinB的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值,然后利用诱导公式得到sinC=sin(A+B),将sin(A+B)利用两角和与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入求出sin(A+B)的值,即为sinC的值,最后由AC,BC及sinC的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
π |
4 |
(2)由第一问确定出的函数解析式,以及f(A)=-
1 |
2 |
解答:解:(1)由题中表格给出的信息可知,
函数f(x)的周期为T=
-(-
)=π,且ω>0,
∴ω=
=2,
由表格得:sin[2×(-
)+φ]=0,可得:φ=
+2kπ(k∈Z),
由0<φ<π,所以φ=
,
所以函数的解析式为f(x)=sin(2x+
)=cos2x;…(6分)
(2)∵f(A)=cos2A=-
,且A为锐角,
∴2A=
,即A=
,
在△ABC中,AC=2,BC=3,
由正弦定理得
=
,
∴sinB=
=
,
∵BC>AC,∴B<A=
,∴cosB=
,
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
×
+
×
=
,
又AC=2,BC=3,
∴S△ABC=
AC•BC•sinC=
.…(12分)
函数f(x)的周期为T=
3π |
4 |
π |
4 |
∴ω=
2π |
π |
由表格得:sin[2×(-
π |
4 |
π |
2 |
由0<φ<π,所以φ=
π |
2 |
所以函数的解析式为f(x)=sin(2x+
π |
2 |
(2)∵f(A)=cos2A=-
1 |
2 |
∴2A=
2π |
3 |
π |
3 |
在△ABC中,AC=2,BC=3,
由正弦定理得
BC |
sinA |
AC |
sinB |
∴sinB=
AC•sinA |
BC |
| ||
3 |
∵BC>AC,∴B<A=
π |
3 |
| ||
3 |
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
| ||
2 |
| ||
3 |
1 |
2 |
| ||
3 |
3
| ||||
6 |
又AC=2,BC=3,
∴S△ABC=
1 |
2 |
3
| ||||
2 |
点评:此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:三角函数的周期公式,正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,诱导公式,以及三角形的面积公式,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
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