Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线y=-

1

2

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程关系，求函数f（x）的解析式；
（2）利用导数和函数单调性之间的关系求函数的最值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，
∴c=0，即f（x）=x³+ax²+bx．
f'（x）=3x²+2ax，
∵在x=1处的切线为直线y=-

1

2

，
∴f'（1）=0，且f（1）=-

1

2

，
即3+2a+b=0，且1+a+b=-

1

2

，
解得a=-

3

2

，b=0，
∴f（x）=x³-

3

2

x²，
（2）f'（x）=3x²-3x=3x（x-1），
由f'（x）＞0得，x＞1或x＜0，
由f'（x）＜0得，0＜x＜1，
即函数f（x）在（0，1）单调递减，在（-∞，0）和（1，+∞）单调递增，
∵f（-2）=-14，f（0）=0，f（1）=-

1

2

，f（2）=2，
∴函数的最大值为2，最小值为-14．

点评：本题主要考查导数的计算，以及导数的几何意义，利用导数和函数之间的关系是解决本题的关键．