题目内容

平面α⊥平面β,且α∩β=l,在α内有一个等腰Rt△ABC,∠C=90°,BC在l上,且BC=a,在β内有一条直线CD与α成45°角,P是CD上异于C的一点.

(1)求PB与AC所成的角;

(2)若二面角PABC等于60°,求P点到直线AB的距离.

解:(1)作PH⊥l于H,∵α⊥β,

∴PH⊥平面α.

∴PB在平面α上的射影为BH.

∵BC⊥AC,依三垂线定理知PB⊥AC,

∴PB与AC所成的角为90°.

(2)由(1)知∠PCH为CD与α所成的角,

∴∠PCH=45°,△PCH为等腰直角三角形.

作HM⊥AB于M点,连结PM,

由三垂线定理知PM⊥AB,故PM是P点到直线AB的距离,

∠PMH为二面角P-AB-C的平面角.

∴∠PMH=60°.

设PM=x,则在Rt△PHM中,

HM=x,PH=x,CH=x.

∵MH⊥AB,∴△HMB为等腰直角三角形,

HB=HM=x.

∵BH+HC=BC=a,

x+x=a,

∴x=2(-)a.

∴点P到AB的距离为2(-)a.

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