题目内容
平面α⊥平面β,且α∩β=l,在α内有一个等腰Rt△ABC,∠C=90°,BC在l上,且BC=a,在β内有一条直线CD与α成45°角,P是CD上异于C的一点.(1)求PB与AC所成的角;
(2)若二面角PABC等于60°,求P点到直线AB的距离.
解:(1)作PH⊥l于H,∵α⊥β,
∴PH⊥平面α.
∴PB在平面α上的射影为BH.
∵BC⊥AC,依三垂线定理知PB⊥AC,
∴PB与AC所成的角为90°.
(2)由(1)知∠PCH为CD与α所成的角,
∴∠PCH=45°,△PCH为等腰直角三角形.
作HM⊥AB于M点,连结PM,
由三垂线定理知PM⊥AB,故PM是P点到直线AB的距离,
∠PMH为二面角P-AB-C的平面角.
∴∠PMH=60°.
设PM=x,则在Rt△PHM中,
HM=x,PH=
x,CH=
x.
∵MH⊥AB,∴△HMB为等腰直角三角形,
HB=HM=
x.
∵BH+HC=BC=a,
即x+
x=a,
∴x=2(-
)a.
∴点P到AB的距离为2(-
)a.

练习册系列答案
相关题目