Question

20．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一焦点F在抛物线y²=4x的准线上，且点M（1，$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）在椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过直线x=-2上任意一点P作椭圆E的切线，切点为Q，试问：$\overrightarrow{FP}\;•\;\overrightarrow{FQ}$是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线方程求出其准线，确定焦点的坐标，然后求出椭圆中的c，再根据M点在椭圆上，求出椭圆方程；
（2）设出PQ直线方程，然后与椭圆方程联立，根据△=0，求出P、Q坐标，然后运用向量的数量积的坐标表示计算即可得到结论．

解答 解：（1）抛物线y²=4x的准线为x=-1，
则F（-1，0），即c=1，即有a²-b²=1，
又M（1，$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）在椭圆上，
则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，解得a²=2，b²=1，
故椭E的方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）设P（-2，y₀）、Q（x₁，y₁）．
依题意可知切线PQ的斜率存在，设为k，PQ：y=kx+m，
并代入方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1中，
整理得：（2k²+1）x²+4mkx+2（m²-1）=0，
因△=16m²k²-8（2k²+1）（m²-1）=0，即m²=2k²+1．
从而x₁=-$\frac{2mk}{1+2{k}^{2}}$，y₁=$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$，
所以Q（-$\frac{2mk}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$），
又y₀=-2k+m，则P（-2，-2k+m），$\overrightarrow{FP}$=（-1，m-2k），$\overrightarrow{FQ}$=（1-$\frac{2mk}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$）．
由于$\overrightarrow{FP}\;•\;\overrightarrow{FQ}$=-1+$\frac{2mk}{1+2{k}^{2}}$+（m-2k）•$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-1=0．
即有$\overrightarrow{FP}\;•\;\overrightarrow{FQ}$为定值0．

点评 本题考查了椭圆和抛物线的标准方程，同时与平面向量的知识结合考查学生的运算能力，本题对学生的计算能力要求较高．